Сключики » Вт фев 08, 2022 7:59 pm
Выложили решения и критерии оценки регионалки по математике. Ну такое себе))
XIV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ИМЕНИ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА Решения и критерии оценки заданий регионального этапа, 1 день 1. Как без остатка разрезать клетчатый квадрат размером 8х8 клеточек на 10 клетчатых прямоугольников, чтобы все прямоугольники имели различные площади? Все разрезы должны проходить по границам клеточек. (И. Рубанов) Решение. Например, так, как показано на рисунке справа. Критерии. Изображён или описан соответствующий условиям задачи способ разрезания: 7 баллов. Указаны прямоугольники, на которые действительно можно разрезать квадрат с соблюдением условий задачи, но способ разрезания не изображен и не описан: 3 балла. 2. Учитель придумал ребус, заменив в примере a+b = c на сложение двух натуральных чисел цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. (например, если a = 23, а b = 528, то c = 551, и получился, с точностью до выбора букв, ребус АБ+ВАГ = ВВД). Оказалось, что по получившемуся ребусу однозначно восстанавливается исходный пример. Найдите наименьшее возможное значение суммы c. (И. Богданов) Ответ. 10. Решение. Если ребус имеет вид А+Б = АВ, то А = 1, так как А+Б < 20, и Б = 9, так как иначе сумма А+Б однозначное число. Таким образом, при c = 10 по ребусу может однозначно восстанавливаться исходный пример 1+9 = 10. Если же c < 10, то ребус имеет вид А+Б = В или А+А = Б. В первом случае нельзя определить, был ли это пример 1+2 = 3 или пример 1+3 = 4, а во втором — пример 1+1 = 2 или пример 2+2 =- 4. Критерии. Только ответ 10: 0 баллов. Дан ответ, указан вид ребуса А+Б = АВ, дальнейшего содержательного продвижения нет: 1 балл. Указан вид ребуса А+Б = АВ, доказано, что он имеет единственное решение, дальнейшего содержательного продвижения нет: 3 балла. Доказано, что с ≥ 10, дальнейшего содержательного продвижения нет: 3 балла. Дан ответ, доказано, что с ≥ 10, указан вид ребуса А+Б = АВ, единственность его решения не доказана: 4 балла. Дан ответ, доказано, что с ≥ 10, указан вид ребуса А+Б = АВ, единственность его решения ребуса доказана с погрешностями: 5–6 баллов. При доказательстве того, что с ≥ 10, упущен случай А+А = Б: штраф в 1 балл. 3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BK и CL. На отрезке BK отмечена точка N так, что LN ∥ AC. Оказалось, что NK = LN. Найдите величину угла ABC. (А. Кузнецов) Ответ. 120. Решение. В равнобедренном треугольнике LNK KLN = LKN. Кроме того, равны углы KLN и LKA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых LN и AC. Таким образом, KLN = LKA, то есть луч KL биссектриса угла AKB. Следовательно, лежащая на нём точка L равноудалена от прямых KA и KB. Кроме того, она равноудалена от прямых CA = KA и CB, так как лежит на биссектрисе угла ACB. Значит, точка L равноудалена от прямых CB и KB, и потому должна лежать на биссектрисе того из углов, образованных этими прямыми, в котором она содержится. Это угол KBC1, где C1 точка на продолжении отрезка CB за точку B, а его биссектрисой должен быть луч BL = BA. Отсюда получаем, что ABC1 = ABK = CBK. Так как эти три угла вместе составляют развёрнутый угол, то каждый из них равен 60, откуда ABC = ABK+CBK = 120. Критерии. Показано, что KL — биссектриса угла AKB, дальнейшего содержательного продвижения нет: 1 балл. Показано, что точка L равноудалена от прямых CB, CA и KB (или что точка L является центром вневписанной окружности треугольника AKB), дальнейшего содержательного продвижения нет: 3 балла. 4. Числа 1, 2, ..., 1000 разбили на два множества по 500 чисел: красные k1, k2, ..., k500 и синие s1, s2, ..., s500. Докажите, что количество таких пар m и n, у которых разность km–sn дает остаток 7 при делении на 100, равно количеству таких пар m и n, у которых разность sn–km дает остаток 7 при делении на 100. Здесь рассматриваются все возможные разности, в том числе и отрицательные. Напомним, что остатком от деления целого числа a на 100 называется разность между числом a и ближайшим числом, не большим a и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен 2022–2000 = 22, а остаток от деления числа –11 на 100 равен –11–(–100) = 89. (Е. Бакаев)